Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что в равных треугольниках медианы, проведённые к равным сторонам, равны.
Решение
Дано: \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\), \(AM\) и \(A_1M_1\) — медианы к сторонам \(BC\) и \(B_1C_1\). Доказать: \(AM = A_1M_1\).
- В равных треугольниках соответствующие стороны и углы равны: \(AB = A_1B_1\), \(BC = B_1C_1\), \(\angle B = \angle B_1\).
- \(M\) и \(M_1\) — середины равных сторон, поэтому \(BM = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{B_1C_1}{2} = B_1M_1\).
- В треугольниках \(ABM\) и \(A_1B_1M_1\): \(AB = A_1B_1\), \(BM = B_1M_1\), \(\angle B = \angle B_1\). Они равны по первому признаку.
- Значит, их третьи стороны тоже равны: \(AM = A_1M_1\).
Ответ
Утверждение доказано: медианы к равным сторонам равны
Почему так
Медианы отсекают равные треугольники, равные по первому признаку.
Подробнее — в теме «Медианы, биссектрисы и высоты треугольника».