Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(BM\) — медиана и высота. Доказать: \(\triangle ABC\) равнобедренный.
- \(BM\) — медиана, поэтому \(AM = CM\).
- \(BM\) — высота, поэтому \(\angle AMB = \angle CMB = 90^\circ\).
- В треугольниках \(ABM\) и \(CBM\): \(AM = CM\), \(BM\) — общая сторона, \(\angle AMB = \angle CMB\). Они равны по первому признаку.
- Значит, \(AB = CB\), и треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\).
Ответ
Утверждение доказано: AB = CB, треугольник равнобедренный
Почему так
Медиана-высота делит треугольник на две равные половины по первому признаку.
Подробнее — в теме «Равнобедренный треугольник и его свойства».