Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 18

Упражнение 118 к § 18

Задача 1

Условие (кратко)

Точки M и P по одну сторону от прямой b, перпендикуляры MN и PQ к b равны, O — середина NQ. Доказать, что ∠OMP = ∠OPM.

Решение

Дано: $MN \perp b$ , $PQ \perp b$ , $$MN = PQ$$ , $$NO = OQ$$ . Доказать: $\angle OMP = \angle OPM$ .

В треугольниках $$MNO$$ и $$PQO$$ : $$MN = PQ$$ по условию, $$NO = QO$$ , так как $$O$$ — середина $$NQ$$ , $\angle MNO = \angle PQO = 90^\circ$ .
Треугольники равны по первому признаку, значит, $$OM = OP$$ .
Треугольник $$OMP$$ равнобедренный с основанием $$MP$$ , а углы при основании равны: $\angle OMP = \angle OPM$ .

Ответ

Утверждение доказано: OM = OP, поэтому ∠OMP = ∠OPM

Почему так

Равные прямоугольные треугольники дают OM = OP, а в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Условие (кратко)

В той же фигуре (MN ⊥ b, PQ ⊥ b, MN = PQ, O — середина NQ) найти ∠NOM, если ∠MOP = 105°.

Решение

Дано

Найти

Из равенства $\triangle MNO = \triangle PQO$ (пункт а) следует $\angle NOM = \angle QOP$ .
Углы $$NOM$$ , $$MOP$$ и $$POQ$$ вместе составляют развёрнутый угол $$NOQ$$ : $\angle NOM + 105^\circ + \angle QOP = 180^\circ$ .
$2\angle NOM = 75^\circ$ , $\angle NOM = 37{,}5^\circ = 37^\circ 30'$ .

Ответ

∠NOM = 37°30′

Почему так

Равные треугольники дают два равных угла, вместе с ∠MOP они составляют 180°.