Задача 1
Условие (кратко)
Медиана AM треугольника ABC равна отрезку BM. Доказать, что один из углов треугольника ABC равен сумме двух других углов.
Решение
Дано: \(AM\) — медиана \(\triangle ABC\), \(AM = BM\). Доказать: один угол треугольника равен сумме двух других.
- \(M\) — середина \(BC\), поэтому \(BM = MC\), а значит, \(AM = BM = MC\).
- \(\triangle ABM\) равнобедренный (\(AM = BM\)) с основанием \(AB\), поэтому \(\angle B = \angle BAM\).
- \(\triangle ACM\) равнобедренный (\(AM = CM\)) с основанием \(AC\), поэтому \(\angle C = \angle CAM\).
- Луч \(AM\) проходит внутри угла \(A\), поэтому \(\angle A = \angle BAM + \angle CAM = \angle B + \angle C\).
Ответ
Утверждение доказано: ∠A = ∠B + ∠C
Почему так
Медиана делит треугольник на два равнобедренных, углы при их основаниях складываются в ∠A.
Подробнее — в теме «Равнобедренный треугольник и его свойства».