Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 18

Упражнение 125 к § 18

Задача 1

Условие (кратко)

В равнобедренном △ABC с основанием AC проведена медиана BD, на AB и CB отмечены точки E и F, AE = CF. Доказать, что △BDE = △BDF.

Решение

Дано: $$AB = CB$$ , $$BD$$ — медиана, $$E$$ на $$AB$$ , $$F$$ на $$CB$$ , $$AE = CF$$ . Доказать: $\triangle BDE = \triangle BDF$ .

Медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является биссектрисой: $\angle ABD = \angle CBD$ , то есть $\angle EBD = \angle FBD$ .
$$BE = AB - AE$$ , $$BF = CB - CF$$ ; так как $$AB = CB$$ и $$AE = CF$$ , то $$BE = BF$$ .
$$BD$$ — общая сторона.
Треугольники $$BDE$$ и $$BDF$$ равны по первому признаку.

Ответ

Утверждение доказано: △BDE = △BDF по первому признаку

Почему так

Медиана к основанию равнобедренного треугольника является биссектрисой и даёт равные углы при B.

Условие (кратко)

В той же фигуре (AB = CB, BD — медиана к основанию AC, AE = CF) доказать, что △ADE = △CDF.

Решение

Дано: $$AB = CB$$ , $$BD$$ — медиана, $$AE = CF$$ . Доказать: $\triangle ADE = \triangle CDF$ .

Ответ

Утверждение доказано: △ADE = △CDF по первому признаку

Почему так

Равные половины основания, равные отрезки AE и CF и равные углы при основании дают первый признак.