Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 19

Упражнение 127 к § 19

§ 19. Второй признак равенства треугольников · тема: Второй признак равенства треугольников

Задача 1

Условие (кратко)

На рисунке 59 четырёхугольник ABCD с диагональю AC; ∠1 = ∠BCA, ∠2 = ∠CAD, ∠3 = ∠ACD, ∠4 = ∠BAC. Известно, что ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4. Докажите, что △ABC = △CDA.

Решение

Дано: $\angle BCA = \angle CAD$ ( $\angle 1 = \angle 2$ ), $\angle ACD = \angle BAC$ ( $\angle 3 = \angle 4$ ). Доказать: $\triangle ABC = \triangle CDA$ .

Сторона $$AC$$ — общая для обоих треугольников.
В треугольнике $$ABC$$ к стороне $$AC$$ прилежат углы $\angle BAC = \angle 4$ и $\angle BCA = \angle 1$ .
В треугольнике $$CDA$$ к стороне $$CA$$ прилежат углы $\angle DCA = \angle 3$ и $\angle DAC = \angle 2$ .
$\angle 4 = \angle 3$ и $\angle 1 = \angle 2$ , поэтому по второму признаку $\triangle ABC = \triangle CDA$ (вершине $$A$$ соответствует $$C$$ , вершине $$B$$ — $$D$$ , вершине $$C$$ — $$A$$ ).

Ответ

Утверждение доказано — △ABC = △CDA по второму признаку.

Почему так

Общая сторона AC и два прилежащих к ней угла попарно равны — это второй признак.

Подробнее — в теме «Второй признак равенства треугольников».

Задача 2

Условие (кратко)

В условиях пункта а) найдите AB и BC, если AD = 19 см, CD = 11 см.

Решение

Дано

$\triangle ABC = \triangle CDA$
$$AD = 19$$ см
$$CD = 11$$ см

Найти

$$AB$$
$$BC$$

Сторона $$AB$$ лежит против угла $\angle BCA = \angle 1$ , а сторона $$CD$$ — против равного ему угла $\angle DAC = \angle 2$ . Значит, $$AB = CD = 11$$ см.
Сторона $$BC$$ лежит против угла $\angle BAC = \angle 4$ , а сторона $$DA$$ — против равного ему угла $\angle DCA = \angle 3$ . Значит, $$BC = AD = 19$$ см.

Ответ

AB = 11 см, BC = 19 см

Почему так

В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.

Подробнее — в теме «Второй признак равенства треугольников».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки