Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 19

Упражнение 130 к § 19

Задача 1

Условие (кратко)

На рисунке 80 отрезки AD и BC пересекаются в точке O, ∠DAC = ∠DBC, AO = BO. Докажите, что ∠C = ∠D и AC = BD.

Решение

Дано: отрезки $$AD$$ и $$BC$$ пересекаются в точке $$O$$ , $\angle DAC = \angle DBC$ , $$AO = BO$$ . Доказать: $\angle C = \angle D$ , $$AC = BD$$ .

Рассмотрим треугольники $$AOC$$ и $$BOD$$ . $$AO = BO$$ по условию.
$\angle OAC = \angle DAC$ и $\angle OBD = \angle DBC$ (это те же углы), поэтому $\angle OAC = \angle OBD$ .
$\angle AOC = \angle BOD$ как вертикальные.
По второму признаку $\triangle AOC = \triangle BOD$ . Отсюда $\angle C = \angle D$ и $$AC = BD$$ как соответственные элементы.

Ответ

Утверждение доказано — ∠C = ∠D, AC = BD.

Почему так

Треугольники AOC и BOD равны по второму признаку (сторона AO = BO, равные углы при A и B, вертикальные углы).