Задача 1
Условие (кратко)
В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁. На AB и A₁B₁ отмечены точки D и D₁, ∠ACD = ∠A₁C₁D₁. Докажите, что △BCD = △B₁C₁D₁.
Решение
Дано: \(AB = A_1B_1\), \(BC = B_1C_1\), \(\angle B = \angle B_1\), \(D \in AB\), \(D_1 \in A_1B_1\), \(\angle ACD = \angle A_1C_1D_1\). Доказать: \(\triangle BCD = \triangle B_1C_1D_1\).
- \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\) по первому признаку (две стороны \(AB\), \(BC\) и угол \(B\) между ними). Значит, \(\angle ACB = \angle A_1C_1B_1\).
- Точка \(D\) лежит на стороне \(AB\), поэтому луч \(CD\) проходит внутри угла \(ACB\) и \(\angle BCD = \angle ACB - \angle ACD\). Так же \(\angle B_1C_1D_1 = \angle A_1C_1B_1 - \angle A_1C_1D_1\). Отсюда \(\angle BCD = \angle B_1C_1D_1\).
- В треугольниках \(BCD\) и \(B_1C_1D_1\): \(BC = B_1C_1\), \(\angle B = \angle B_1\), \(\angle BCD = \angle B_1C_1D_1\) — сторона и два прилежащих к ней угла.
- По второму признаку \(\triangle BCD = \triangle B_1C_1D_1\).
Ответ
Утверждение доказано — △BCD = △B₁C₁D₁.
Почему так
Сначала первый признак даёт равенство углов C и C₁, затем второй признак — равенство треугольников BCD и B₁C₁D₁.
Подробнее — в теме «Второй признак равенства треугольников».