Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведённые к соответственно равным сторонам, равны.
Решение
Дано: \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\), \(AD\) и \(A_1D_1\) — биссектрисы, проведённые к сторонам \(BC\) и \(B_1C_1\). Доказать: \(AD = A_1D_1\).
- Из равенства треугольников \(AB = A_1B_1\), \(\angle B = \angle B_1\), \(\angle A = \angle A_1\).
- Биссектрисы делят равные углы пополам: \(\angle BAD = \dfrac{1}{2}\angle A = \dfrac{1}{2}\angle A_1 = \angle B_1A_1D_1\).
- В треугольниках \(ABD\) и \(A_1B_1D_1\): \(AB = A_1B_1\), \(\angle B = \angle B_1\), \(\angle BAD = \angle B_1A_1D_1\). По второму признаку \(\triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1\).
- Значит, \(AD = A_1D_1\).
Ответ
Утверждение доказано — биссектрисы равны.
Почему так
Половины равных углов равны, поэтому треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по второму признаку.
Подробнее — в теме «Второй признак равенства треугольников».