Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 19

Упражнение 135 к § 19

§ 19. Второй признак равенства треугольников · тема: Второй признак равенства треугольников

Задача 1

Условие (кратко)

В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ отрезки CO и C₁O₁ — медианы, BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁. Докажите, что △ACO = △A₁C₁O₁.

Решение

Дано: $$CO$$ и $$C_1O_1$$ — медианы, $$BC = B_1C_1$$ , $\angle B = \angle B_1$ , $\angle C = \angle C_1$ . Доказать: $\triangle ACO = \triangle A_1C_1O_1$ .

$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по второму признаку (сторона $$BC$$ и прилежащие углы $$B$$ и $$C$$ ). Значит, $$AC = A_1C_1$$ , $$AB = A_1B_1$$ , $\angle A = \angle A_1$ .
$$O$$ и $$O_1$$ — середины равных отрезков $$AB$$ и $$A_1B_1$$ , поэтому $AO = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}A_1B_1 = A_1O_1$ .
В треугольниках $$ACO$$ и $$A_1C_1O_1$$ : $$AC = A_1C_1$$ , $$AO = A_1O_1$$ , $\angle A = \angle A_1$ . По первому признаку $\triangle ACO = \triangle A_1C_1O_1$ .

Ответ

Утверждение доказано — △ACO = △A₁C₁O₁.

Почему так

Второй признак даёт равенство треугольников ABC и A₁B₁C₁, а затем первый признак — равенство их «половинок».

Подробнее — в теме «Второй признак равенства треугольников».

Задача 2

Условие (кратко)

В тех же условиях докажите, что △BCO = △B₁C₁O₁.

Решение

Дано: те же, что в пункте а). Доказать: $\triangle BCO = \triangle B_1C_1O_1$ .

Из равенства $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ (пункт а) $$AB = A_1B_1$$ , поэтому $BO = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}A_1B_1 = B_1O_1$ .
В треугольниках $$BCO$$ и $$B_1C_1O_1$$ : $$BC = B_1C_1$$ , $$BO = B_1O_1$$ , $\angle B = \angle B_1$ .
По первому признаку $\triangle BCO = \triangle B_1C_1O_1$ .

Ответ

Утверждение доказано — △BCO = △B₁C₁O₁.

Почему так

Половины равных сторон равны, и угол B между ними общий по величине — работает первый признак.

Подробнее — в теме «Второй признак равенства треугольников».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки