Задача 1
Условие (кратко)
В треугольниках DEF и MNP EF = NP, DF = MP, ∠F = ∠P. Биссектрисы углов E и D пересекаются в точке O, углов M и N — в точке K. Докажите, что ∠DOE = ∠MKN.
Решение
Дано: \(EF = NP\), \(DF = MP\), \(\angle F = \angle P\); \(O\) — точка пересечения биссектрис углов \(D\) и \(E\), \(K\) — углов \(M\) и \(N\). Доказать: \(\angle DOE = \angle MKN\).
- \(\triangle DEF = \triangle MNP\) по первому признаку (стороны \(EF\), \(DF\) и угол \(F\) между ними). Значит, \(DE = MN\), \(\angle D = \angle M\), \(\angle E = \angle N\).
- Биссектрисы делят равные углы пополам: \(\angle ODE = \dfrac{1}{2}\angle D = \dfrac{1}{2}\angle M = \angle KMN\), \(\angle OED = \dfrac{1}{2}\angle E = \dfrac{1}{2}\angle N = \angle KNM\).
- В треугольниках \(DOE\) и \(MKN\): \(DE = MN\) и прилежащие к этим сторонам углы равны. По второму признаку \(\triangle DOE = \triangle MKN\).
- Значит, \(\angle DOE = \angle MKN\).
Ответ
Утверждение доказано — ∠DOE = ∠MKN.
Почему так
Первый признак даёт равенство треугольников DEF и MNP, затем второй признак — равенство треугольников DOE и MKN.
Подробнее — в теме «Второй признак равенства треугольников».