Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 19

Упражнение 137 к § 19

Задача 1

Условие (кратко)

Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла A, пересекает стороны угла в точках M и N. Докажите, что треугольник AMN — равнобедренный.

Решение

Дано: $$AL$$ — биссектриса угла $$A$$ , прямая $MN \perp AL$ , $$M$$ и $$N$$ — на сторонах угла. Доказать: $$AM = AN$$ .

Пусть $$H$$ — точка пересечения прямой $$MN$$ с биссектрисой.
В треугольниках $$AHM$$ и $$AHN$$ сторона $$AH$$ общая.
$\angle MAH = \angle NAH$ , так как $$AH$$ лежит на биссектрисе.
$\angle AHM = \angle AHN = 90^\circ$ , так как $MN \perp AL$ .
По второму признаку $\triangle AHM = \triangle AHN$ , значит, $$AM = AN$$ и треугольник $$AMN$$ равнобедренный.

Ответ

Утверждение доказано — AM = AN, треугольник AMN равнобедренный.

Почему так

Треугольники AHM и AHN равны по общей стороне AH и двум прилежащим углам — половине угла A и прямому.