Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 19

Упражнение 138 к § 19

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник — равнобедренный.

Решение

Дано: в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$BD$$ — биссектриса и высота. Доказать: $$AB = BC$$ .

В треугольниках $$ABD$$ и $$CBD$$ сторона $$BD$$ общая.
$\angle ABD = \angle CBD$ , так как $$BD$$ — биссектриса.
$\angle ADB = \angle CDB = 90^\circ$ , так как $$BD$$ — высота.
По второму признаку $\triangle ABD = \triangle CBD$ , поэтому $$AB = CB$$ , и треугольник $$ABC$$ равнобедренный.

Ответ

Утверждение доказано — AB = BC, треугольник равнобедренный.

Почему так

Биссектриса-высота делит треугольник на два треугольника, равных по второму признаку.