Задача 1
Условие (кратко)
В треугольниках ABD и ACD AB = AC, BD = DC, точки B и C лежат по разные стороны от прямой AD. Найдите угол CAD, если ∠BAC = 50°.
Решение
Дано
- \(AB = AC\)
- \(BD = DC\)
- \(B\) и \(C\) по разные стороны от прямой \(AD\)
- \(\angle BAC = 50^\circ\)
Найти
- \(\angle CAD\)
- В треугольниках \(ABD\) и \(ACD\): \(AB = AC\), \(BD = CD\), сторона \(AD\) общая. По третьему признаку \(\triangle ABD = \triangle ACD\), значит, \(\angle BAD = \angle CAD\).
- Точки \(B\) и \(C\) лежат по разные стороны от прямой \(AD\), поэтому отрезок \(BC\) пересекает прямую \(AD\). Если точка пересечения лежит на луче \(AD\) (точка \(D\) по ту же сторону от \(A\), что и отрезок \(BC\), — обычный рисунок), то луч \(AD\) проходит внутри угла \(BAC\): \(\angle BAD + \angle CAD = \angle BAC = 50^\circ\), и \(\angle CAD = 50^\circ : 2 = 25^\circ\).
- Условие допускает и другое положение: точка \(D\) лежит по другую сторону от точки \(A\) (внутри угла \(BAC\) проходит луч, дополнительный к лучу \(AD\)). Тогда угол \(CAD\) смежный с углом в \(25^\circ\), и \(\angle CAD = 180^\circ - 25^\circ = 155^\circ\). В ответах учебника указан только первый случай — 25°.
Ответ
∠CAD = 25° (если луч AD лежит вне угла BAC — 155°)
Почему так
По третьему признаку треугольники ABD и ACD равны, поэтому AD делит угол BAC пополам.
Подробнее — в теме «Третий признак равенства треугольников».