Задача 1
Условие (кратко)
В треугольниках ABC и ADC BC = AD, AB = CD. Докажите, что ∠B = ∠D. Рассмотрите разные случаи расположения точек B и D.
Решение
Дано: \(BC = AD\), \(AB = CD\), \(AC\) — общая сторона треугольников \(ABC\) и \(ADC\). Доказать: \(\angle B = \angle D\).
- Сравним треугольники \(ABC\) и \(CDA\), сопоставив вершины \(A \to C\), \(B \to D\), \(C \to A\): \(AB = CD\), \(BC = DA\), \(CA = AC\) (общая сторона).
- По третьему признаку \(\triangle ABC = \triangle CDA\). Угол \(B\) лежит против стороны \(AC\), угол \(D\) — против той же стороны \(CA\), поэтому \(\angle B = \angle D\).
- Случаи расположения. Точки \(B\) и \(D\) могут лежать по разные стороны от прямой \(AC\) (получается четырёхугольник \(ABCD\) с диагональю \(AC\), противоположные стороны которого попарно равны) или по одну сторону (отрезки \(AD\) и \(BC\) пересекаются). В обоих случаях рассуждение одинаковое: три пары сторон равны, и третий признак применяется без изменений — меняется только рисунок.
Ответ
Утверждение доказано — ∠B = ∠D при любом расположении точек B и D.
Почему так
Треугольники ABC и CDA равны по трём сторонам, а углы B и D лежат против общей стороны AC.
Подробнее — в теме «Третий признак равенства треугольников».