Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 20

Упражнение 143 к § 20

Задача 1

Условие (кратко)

На рисунке 81 ABCD — четырёхугольник с диагоналями AC и BD, AB = CD и BD = AC. Докажите, что ∠CAD = ∠ADB.

Решение

Дано: $$AB = CD$$ , $$BD = AC$$ . Доказать: $\angle CAD = \angle ADB$ .

Рассмотрим треугольники $$ACD$$ и $$DBA$$ (вершине $$A$$ соответствует $$D$$ , вершине $$C$$ — $$B$$ , вершине $$D$$ — $$A$$ ).
$$AC = DB$$ и $$CD = BA$$ по условию, сторона $$AD$$ общая.
По третьему признаку $\triangle ACD = \triangle DBA$ .
Угол $$CAD$$ лежит против стороны $$CD$$ , угол $$BDA$$ — против равной ей стороны $$BA$$ . Значит, $\angle CAD = \angle ADB$ .

Ответ

Утверждение доказано — ∠CAD = ∠ADB.

Почему так

Треугольники ACD и DBA равны по трём сторонам (AD — общая).

Условие (кратко)

На том же рисунке докажите, что ∠BAC = ∠CDB.

Решение

Дано: $$AB = CD$$ , $$BD = AC$$ . Доказать: $\angle BAC = \angle CDB$ .

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$DCB$$ (вершине $$A$$ соответствует $$D$$ , вершине $$B$$ — $$C$$ , вершине $$C$$ — $$B$$ ).
$$AB = DC$$ , $$AC = DB$$ по условию, сторона $$BC$$ общая.
По третьему признаку $\triangle ABC = \triangle DCB$ .
Угол $$BAC$$ лежит против стороны $$BC$$ , угол $$CDB$$ — против той же стороны. Значит, $\angle BAC = \angle CDB$ .

Ответ

Утверждение доказано — ∠BAC = ∠CDB.

Почему так

Треугольники ABC и DCB равны по трём сторонам (BC — общая).