Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 20

Упражнение 144 к § 20

§ 20. Третий признак равенства треугольников · тема: Третий признак равенства треугольников

Задача 1

Условие (кратко)

На рисунке 82 ABCD — четырёхугольник с диагональю AC, AB = CD, AD = BC, BE — биссектриса угла ABC, DF — биссектриса угла ADC (E и F на AC). Докажите, что ∠ABE = ∠ADF.

Решение

Дано: $$AB = CD$$ , $$AD = BC$$ , $$BE$$ и $$DF$$ — биссектрисы углов $$ABC$$ и $$ADC$$ . Доказать: $\angle ABE = \angle ADF$ .

В треугольниках $$ABC$$ и $$CDA$$ : $$AB = CD$$ , $$BC = DA$$ , сторона $$AC$$ общая. По третьему признаку $\triangle ABC = \triangle CDA$ (вершине $$A$$ соответствует $$C$$ , вершине $$B$$ — $$D$$ ).
Значит, $\angle ABC = \angle CDA$ (лежат против общей стороны $$AC$$ ).
Биссектрисы делят равные углы пополам: $\angle ABE = \dfrac{1}{2}\angle ABC = \dfrac{1}{2}\angle ADC = \angle ADF$ .

Ответ

Утверждение доказано — ∠ABE = ∠ADF.

Почему так

По третьему признаку ∠ABC = ∠ADC, а половины равных углов равны.

Подробнее — в теме «Третий признак равенства треугольников».

Задача 2

Условие (кратко)

На том же рисунке докажите, что △ABE = △CDF.

Решение

Дано: те же, что в пункте а). Доказать: $\triangle ABE = \triangle CDF$ .

Из $\triangle ABC = \triangle CDA$ (пункт а) $\angle BAC = \angle DCA$ — эти углы лежат против равных сторон $$BC$$ и $$DA$$ . То есть $\angle BAE = \angle DCF$ .
$\angle ABE = \dfrac{1}{2}\angle ABC = \dfrac{1}{2}\angle CDA = \angle CDF$ .
В треугольниках $$ABE$$ и $$CDF$$ : $$AB = CD$$ , $\angle BAE = \angle DCF$ , $\angle ABE = \angle CDF$ — сторона и два прилежащих к ней угла.
По второму признаку $\triangle ABE = \triangle CDF$ .

Ответ

Утверждение доказано — △ABE = △CDF.

Почему так

Третий признак даёт равенство углов, после чего треугольники ABE и CDF равны по второму признаку.

Подробнее — в теме «Третий признак равенства треугольников».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки