Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 20

Упражнение 145 к § 20

Задача 1

Условие (кратко)

В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ медианы BM и B₁M₁ равны, AB = A₁B₁, AC = A₁C₁. Докажите, что △ABC = △A₁B₁C₁.

Решение

Дано: $$BM$$ и $$B_1M_1$$ — медианы, $$BM = B_1M_1$$ , $$AB = A_1B_1$$ , $$AC = A_1C_1$$ . Доказать: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ .

$$M$$ и $$M_1$$ — середины равных сторон $$AC$$ и $$A_1C_1$$ , поэтому $AM = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}A_1C_1 = A_1M_1$ .
В треугольниках $$ABM$$ и $$A_1B_1M_1$$ : $$AB = A_1B_1$$ , $$BM = B_1M_1$$ , $$AM = A_1M_1$$ . По третьему признаку $\triangle ABM = \triangle A_1B_1M_1$ , значит, $\angle A = \angle A_1$ .
В треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ : $$AB = A_1B_1$$ , $$AC = A_1C_1$$ , $\angle A = \angle A_1$ . По первому признаку $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ .

Ответ

Утверждение доказано — △ABC = △A₁B₁C₁.

Почему так

Третий признак для треугольников ABM и A₁B₁M₁ даёт равенство углов A и A₁, затем работает первый признак.