Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 20

Упражнение 146 к § 20

Задача 1

Условие (кратко)

В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ отрезки AD и A₁D₁ — биссектрисы, AB = A₁B₁, BD = B₁D₁ и AD = A₁D₁. Докажите, что △ABC = △A₁B₁C₁.

Решение

Дано: $$AD$$ и $$A_1D_1$$ — биссектрисы, $$AB = A_1B_1$$ , $$BD = B_1D_1$$ , $$AD = A_1D_1$$ . Доказать: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ .

В треугольниках $$ABD$$ и $$A_1B_1D_1$$ три стороны соответственно равны. По третьему признаку $\triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1$ , значит, $\angle B = \angle B_1$ и $\angle BAD = \angle B_1A_1D_1$ .
$$AD$$ и $$A_1D_1$$ — биссектрисы, поэтому $\angle A = 2\angle BAD = 2\angle B_1A_1D_1 = \angle A_1$ .
В треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ : $$AB = A_1B_1$$ , $\angle A = \angle A_1$ , $\angle B = \angle B_1$ . По второму признаку $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ .

Ответ

Утверждение доказано — △ABC = △A₁B₁C₁.

Почему так

Третий признак даёт равенство углов при A и B, затем треугольники равны по второму признаку.