Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 20

Упражнение 147 к § 20

Задача 1

Условие (кратко)

Равнобедренные треугольники ADC и BCD имеют общее основание DC. Прямая AB пересекает отрезок CD в точке O. Докажите, что ∠ADB = ∠ACB.

Решение

Дано: $$AD = AC$$ , $$BD = BC$$ , прямая $$AB$$ пересекает отрезок $$CD$$ в точке $$O$$ . Доказать: $\angle ADB = \angle ACB$ .

Рассмотрим треугольники $$ADB$$ и $$ACB$$ : $$AD = AC$$ и $$BD = BC$$ (боковые стороны равнобедренных треугольников), сторона $$AB$$ общая.
По третьему признаку $\triangle ADB = \triangle ACB$ , значит, $\angle ADB = \angle ACB$ .
Рассуждение верно в обоих возможных случаях: точка $$B$$ лежит на луче $$AO$$ (точки $$A$$ и $$B$$ по разные стороны от $$DC$$ или $$B$$ между $$A$$ и $$O$$ ) или на продолжении луча $$AO$$ за точку $$A$$ — равенство трёх сторон от рисунка не зависит.

Ответ

Утверждение доказано — ∠ADB = ∠ACB.

Почему так

Треугольники ADB и ACB равны по трём сторонам (AB — общая).

Условие (кратко)

В тех же условиях докажите, что DO = OC.

Решение

Дано: те же, что в пункте а). Доказать: $$DO = OC$$ .

Из $\triangle ADB = \triangle ACB$ (пункт а) $\angle DAB = \angle CAB$ .
Случай 1: точка $$B$$ лежит на луче $$AO$$ . Тогда $\angle DAO = \angle DAB$ и $\angle CAO = \angle CAB$ , поэтому $\angle DAO = \angle CAO$ .
Случай 2: точка $$B$$ лежит на продолжении луча $$AO$$ за точку $$A$$ . Тогда углы $$DAO$$ и $$DAB$$ смежные, углы $$CAO$$ и $$CAB$$ тоже смежные: $\angle DAO = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - \angle CAB = \angle CAO$ .
В обоих случаях в треугольниках $$DAO$$ и $$CAO$$ : $$AD = AC$$ , $$AO$$ — общая сторона, $\angle DAO = \angle CAO$ . По первому признаку $\triangle DAO = \triangle CAO$ , значит, $$DO = CO$$ .

Ответ

Утверждение доказано — DO = OC.

Почему так

Из третьего признака AO — биссектриса угла DAC, затем первый признак даёт DO = OC (по указанию учебника — два случая).