Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 21

Упражнение 149 к § 21

Задача 1

Условие (кратко)

Отрезки AB и CD — диаметры окружности. Докажите, что хорды BD и AC равны.

Решение

Дано: $$AB$$ и $$CD$$ — диаметры окружности с центром $$O$$ . Доказать: $$BD = AC$$ .

Диаметры проходят через центр, поэтому пересекаются в точке $$O$$ , и $$OA = OB = OC = OD$$ как радиусы.
$\angle BOD = \angle AOC$ как вертикальные.
В треугольниках $$BOD$$ и $$AOC$$ : $$OB = OA$$ , $$OD = OC$$ , углы между ними равны. Значит, $\triangle BOD = \triangle AOC$ по первому признаку.
Отсюда $$BD = AC$$ .

Ответ

Утверждение доказано: BD = AC

Почему так

Треугольники с вершиной в центре равны по двум радиусам и вертикальному углу между ними.

Подробнее — в теме «Окружность».

Условие (кратко)

Отрезки AB и CD — диаметры окружности. Докажите, что хорды AD и BC равны.

Решение

Дано: $$AB$$ и $$CD$$ — диаметры окружности с центром $$O$$ . Доказать: $$AD = BC$$ .

$$OA = OB = OC = OD$$ как радиусы.
$\angle AOD = \angle BOC$ как вертикальные.
$\triangle AOD = \triangle BOC$ по первому признаку (две стороны и угол между ними).
Значит, $$AD = BC$$ .

Ответ

Утверждение доказано: AD = BC

Почему так

Треугольники AOD и BOC равны по двум радиусам и вертикальному углу.

Подробнее — в теме «Окружность».

Условие (кратко)

Отрезки AB и CD — диаметры окружности. Докажите, что ∠BAD = ∠BCD.

Решение

Дано: $$AB$$ и $$CD$$ — диаметры окружности. Доказать: $\angle BAD = \angle BCD$ .

$$AB = CD$$ , так как каждый диаметр равен двум радиусам.
$$AD = CB$$ — доказано в пункте б).
$$BD$$ — общая сторона треугольников $$ABD$$ и $$CDB$$ .
Значит, $\triangle ABD = \triangle CDB$ по третьему признаку (по трём сторонам).
В равных треугольниках против равных сторон $$BD$$ лежат равные углы: $\angle BAD = \angle DCB$ .

Ответ

Утверждение доказано: ∠BAD = ∠BCD

Почему так

Треугольники ABD и CDB равны по трём сторонам, поэтому углы против общей стороны BD равны.

Подробнее — в теме «Окружность».