Задача 1
Условие (кратко)
Даны прямая a, точка B не на ней и отрезок PQ. Постройте точку M на прямой a так, чтобы BM = PQ. Всегда ли задача имеет решение?
Решение
Все точки, удалённые от \(B\) на расстояние \(PQ\), лежат на окружности с центром \(B\) радиуса \(PQ\). Искомая точка \(M\) должна лежать и на этой окружности, и на прямой \(a\).
- Циркулем проводим окружность с центром \(B\) и радиусом, равным \(PQ\).
- Отмечаем точки её пересечения с прямой \(a\). Каждая такая точка — искомая точка \(M\): \(BM = PQ\) как радиус.
Сколько решений. Пусть \(BH\) — перпендикуляр из \(B\) к прямой \(a\).
- Если \(PQ > BH\), окружность пересекает прямую в двух точках — два решения.
- Если \(PQ = BH\), окружность касается прямой в точке \(H\) — одно решение.
- Если \(PQ < BH\), окружность не достигает прямой — решений нет.
Ответ
Нет, не всегда: при PQ короче перпендикуляра из B к прямой a решений нет; иначе одно или два
Почему так
Точка M — общая точка прямой a и окружности с центром B радиуса PQ, а их может и не быть.
Подробнее — в теме «Построения циркулем и линейкой».