Задача 1
Даны окружность, точка A не на ней и отрезок PQ. Постройте точку M на окружности так, чтобы AM = PQ. Всегда ли задача имеет решение?
Решение
Точки, удалённые от \(A\) на расстояние \(PQ\), лежат на окружности с центром \(A\) радиуса \(PQ\). Искомая точка \(M\) лежит одновременно на ней и на данной окружности.
- Проводим окружность с центром \(A\) и радиусом, равным \(PQ\).
- Её точки пересечения с данной окружностью — искомые точки \(M\): \(AM = PQ\) как радиус.
Окружности могут пересечься в двух точках, коснуться в одной или не иметь общих точек. Например, если точка \(A\) лежит вне данной окружности, а \(PQ\) очень короткий, построенная окружность до данной не дотянется — решений нет. Если \(A\) внутри окружности, а \(PQ\) очень длинный, построенная окружность охватит данную целиком — тоже нет решений.
Ответ
Точка M — общая точка двух окружностей, а две окружности могут и не пересекаться.
Подробнее — в теме «Построения циркулем и линейкой».