Задача 1
Условие (кратко)
Даны острый угол BAC и луч XY. Постройте угол YXZ так, чтобы ∠YXZ = 2∠BAC.
Решение
Идея: дважды отложить данный угол, второй раз — от стороны первого построенного угла.
- От луча \(XY\) откладываем угол \(YXT\), равный углу \(BAC\) (построение угла, равного данному: окружность с центром \(A\) пересекает стороны угла в точках \(B_1\), \(C_1\); окружность того же радиуса с центром \(X\) пересекает луч \(XY\) в точке \(D\); окружность с центром \(D\) радиуса \(B_1C_1\) даёт на первой окружности точку \(T\)).
- Тем же способом от луча \(XT\) в другую сторону от луча \(XY\) откладываем угол \(TXZ\), равный углу \(BAC\).
- Луч \(XT\) лежит внутри угла \(YXZ\), поэтому \(\angle YXZ = \angle YXT + \angle TXZ = 2\angle BAC\).
Угол \(BAC\) острый, значит, \(2\angle BAC < 180^\circ\), и угол \(YXZ\) действительно получается (не развёрнутый и не больше развёрнутого).
Почему отложенный угол равен данному: треугольники \(AB_1C_1\) и \(XDT\) равны по трём сторонам (два радиуса равных окружностей и \(DT = B_1C_1\)), поэтому их углы при вершинах \(A\) и \(X\) равны.
Ответ
Угол YXZ построен: он составлен из двух углов, равных углу BAC
Почему так
Построение угла, равного данному, выполненное дважды подряд.
Подробнее — в теме «Построения циркулем и линейкой».