Задача 1
Условие (кратко)
Дан тупой угол AOB. Постройте луч OX так, чтобы углы XOA и XOB были равными тупыми углами.
Решение
- Строим биссектрису \(OL\) угла \(AOB\): окружность с центром \(O\) пересекает стороны в точках \(K\) и \(N\); окружности радиуса \(KN\) с центрами \(K\) и \(N\) пересекаются внутри угла в точке \(L\); проводим луч \(OL\). Тогда \(\angle AOL = \angle BOL\) (треугольники \(OKL\) и \(ONL\) равны по трём сторонам).
- Проводим прямую \(OL\) и берём луч \(OX\), дополнительный к лучу \(OL\) (продолжение биссектрисы за вершину \(O\)).
- Угол \(XOA\) смежный с углом \(AOL\), угол \(XOB\) смежный с углом \(BOL\). Поэтому \(\angle XOA = 180^\circ - \angle AOL\) и \(\angle XOB = 180^\circ - \angle BOL\), и эти углы равны.
- \(\angle AOL = \dfrac{1}{2}\angle AOB < 90^\circ\), так как \(\angle AOB < 180^\circ\). Значит, \(\angle XOA = 180^\circ - \angle AOL > 90^\circ\) — оба угла тупые.
Ответ
Луч OX — продолжение биссектрисы угла AOB за вершину O
Почему так
Углы, смежные с двумя равными половинками угла, равны между собой и тупые.
Подробнее — в теме «Построения циркулем и линейкой».