Задача 1
Условие (кратко)
Даны прямая a и точка M, не лежащая на ней. Постройте прямую, проходящую через точку M и перпендикулярную к прямой a.
Решение
- Проводим окружность с центром \(M\) такого радиуса, чтобы она пересекла прямую \(a\) в двух точках. Обозначаем их \(A\) и \(B\).
- Проводим две окружности: с центром \(A\) радиуса \(AM\) и с центром \(B\) радиуса \(BM\). Обе проходят через \(M\) и пересекаются ещё в одной точке \(N\) по другую сторону от прямой \(a\).
- Проводим прямую \(MN\). Она пересекает прямую \(a\) в точке \(C\). Это искомая прямая.
Почему \(MN \perp a\):
- в треугольниках \(AMN\) и \(BMN\) сторона \(MN\) общая, \(AM = AN\) и \(BM = BN\) как радиусы, а \(AM = BM\) как радиусы первой окружности; значит, \(\triangle AMN = \triangle BMN\) по трём сторонам и \(\angle AMC = \angle BMC\);
- треугольник \(AMB\) равнобедренный (\(MA = MB\)), и \(MC\) — его биссектриса, проведённая к основанию;
- биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой, поэтому \(MC \perp AB\), то есть \(MN \perp a\).
Ответ
Прямая MN построена; MN ⊥ a
Почему так
MC — биссектриса равнобедренного треугольника AMB, а значит, и его высота.
Подробнее — в теме «Построения циркулем и линейкой».