Упражнение 159 к § 23

1. Строим биссектрису угла \(A\): окружность с центром \(A\) пересекает стороны \(AB\) и \(AC\) в точках \(P\) и \(Q\); окружности радиуса \(PQ\) с центрами \(P\) и \(Q\) пересекаются внутри угла в точке \(E\); проводим луч \(AE\).
2. Отмечаем точку \(K\) пересечения луча \(AE\) со стороной \(BC\).
3. Отрезок \(AK\) — искомая биссектриса треугольника: \(\triangle APE = \triangle AQE\) по трём сторонам, поэтому \(\angle BAK = \angle CAK\).

1. Строим середину стороны \(AC\): окружности с центрами \(A\) и \(C\) радиуса \(AC\) пересекаются в точках \(P\) и \(Q\); прямая \(PQ\) пересекает \(AC\) в точке \(M\).
2. Соединяем точки \(B\) и \(M\). Отрезок \(BM\) — искомая медиана.

Почему \(M\) — середина \(AC\): \(\triangle APQ = \triangle CPQ\) по трём сторонам, поэтому \(PM\) — биссектриса равнобедренного треугольника \(APC\), а значит, и его медиана: \(AM = MC\).

1. Проводим через \(C\) перпендикуляр к прямой \(AB\) (как в задаче 158): окружность с центром \(C\) пересекает прямую \(AB\) в точках \(D\) и \(E\); окружности с центрами \(D\) и \(E\), проходящие через \(C\), пересекаются ещё в точке \(N\); проводим прямую \(CN\).
2. Отмечаем точку \(H\) пересечения прямой \(CN\) с прямой \(AB\). Отрезок \(CH\) — искомая высота.

Если угол \(A\) или угол \(B\) тупой, точка \(H\) окажется на продолжении стороны \(AB\), поэтому прямую \(AB\) заранее продлеваем в обе стороны.