Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 25

Упражнение 192 к § 25

Задача 1

Условие (кратко)

Рис. 112: точки A, C, E лежат на одной прямой, точки B, C, D — тоже; AB = BC, CD = DE. Доказать, что AB ∥ DE.

Решение

Дано: $$A$$ , $$C$$ , $$E$$ на одной прямой, $$B$$ , $$C$$ , $$D$$ на одной прямой, $$AB = BC$$ , $$CD = DE$$ . Доказать: $AB \parallel DE$ .

$\triangle ABC$ равнобедренный ( $$AB = BC$$ ), углы при основании $$AC$$ равны: $\angle BAC = \angle BCA$ .
$\triangle CDE$ равнобедренный ( $$CD = DE$$ ), углы при основании $$CE$$ равны: $\angle DCE = \angle DEC$ .
$\angle BCA = \angle DCE$ как вертикальные.
Отсюда $\angle BAC = \angle DEC$ , то есть $\angle BAE = \angle DEA$ .
Для прямых $$AB$$ и $$DE$$ прямая $$AE$$ — секущая, точки $$B$$ и $$D$$ лежат по разные стороны от неё, поэтому углы $$BAE$$ и $$DEA$$ накрест лежащие. Они равны, значит, $AB \parallel DE$ .

Ответ

Утверждение доказано: ∠BAE = ∠DEA — накрест лежащие углы, AB ∥ DE

Почему так

Углы при основаниях двух равнобедренных треугольников и вертикальные углы дают равные накрест лежащие углы.