Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 25

Упражнение 193 к § 25

Задача 1

Условие (кратко)

Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине. Доказать, что прямые AC и BD параллельны.

Решение

Дано: $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$O$$ , $$AO = OB$$ , $$CO = OD$$ . Доказать: $AC \parallel BD$ .

В треугольниках $$AOC$$ и $$BOD$$ : $$AO = BO$$ , $$CO = DO$$ , $\angle AOC = \angle BOD$ как вертикальные.
По первому признаку $\triangle AOC = \triangle BOD$ , поэтому $\angle OAC = \angle OBD$ , то есть $\angle CAB = \angle DBA$ .
Для прямых $$AC$$ и $$BD$$ прямая $$AB$$ — секущая, точки $$C$$ и $$D$$ лежат по разные стороны от неё (отрезок $$CD$$ пересекает $$AB$$ ). Значит, углы $$CAB$$ и $$DBA$$ накрест лежащие.
Накрест лежащие углы равны, поэтому $AC \parallel BD$ .

Ответ

Утверждение доказано: △AOC = △BOD, ∠CAB = ∠DBA — накрест лежащие, AC ∥ BD

Почему так

Равенство треугольников по первому признаку даёт равные накрест лежащие углы при секущей AB.