Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 25

Упражнение 194 к § 25

Задача 1

Условие (кратко)

Рис. 113: в четырёхугольнике ABCD проведён отрезок AC, AB = BC, углы BAC и CAD отмечены как равные. Доказать, что BC ∥ AD.

Решение

Дано: $$AB = BC$$ , $\angle BAC = \angle CAD$ . Доказать: $BC \parallel AD$ .

$\triangle ABC$ равнобедренный ( $$AB = BC$$ ), поэтому углы при основании $$AC$$ равны: $\angle BCA = \angle BAC$ .
По условию $\angle BAC = \angle CAD$ , значит, $\angle BCA = \angle CAD$ .
Для прямых $$BC$$ и $$AD$$ прямая $$AC$$ — секущая, точки $$B$$ и $$D$$ лежат по разные стороны от неё, поэтому углы $$BCA$$ и $$CAD$$ накрест лежащие.
Они равны, значит, $BC \parallel AD$ .

Ответ

Утверждение доказано: ∠BCA = ∠CAD — накрест лежащие углы, BC ∥ AD

Почему так

Угол при основании равнобедренного треугольника равен половине угла BAD, и получаются равные накрест лежащие углы.