Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 25

Упражнение 195 к § 25

Задача 1

Условие (кратко)

Рис. 114: в треугольнике ABC точка D на AB, E на BC, AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Доказать, что DE ∥ AC.

Решение

Дано: $$AB = BC$$ , $$AD = DE$$ , $\angle C = 70^\circ$ , $\angle EAC = 35^\circ$ . Доказать: $DE \parallel AC$ .

$\triangle ABC$ равнобедренный ( $$AB = BC$$ ), углы при основании $$AC$$ равны: $\angle BAC = \angle C = 70^\circ$ .
Луч $$AE$$ лежит внутри угла $$BAC$$ , поэтому $\angle DAE = \angle BAC - \angle EAC = 70^\circ - 35^\circ = 35^\circ$ .
$\triangle ADE$ равнобедренный ( $$AD = DE$$ ), поэтому $\angle DEA = \angle DAE = 35^\circ$ .
Значит, $\angle DEA = \angle EAC = 35^\circ$ . Для прямых $$DE$$ и $$AC$$ прямая $$AE$$ — секущая, точки $$D$$ и $$C$$ лежат по разные стороны от неё, поэтому это накрест лежащие углы.
Накрест лежащие углы равны, поэтому $DE \parallel AC$ .

Ответ

Утверждение доказано: ∠DEA = ∠EAC = 35° — накрест лежащие углы, DE ∥ AC

Почему так

Из двух равнобедренных треугольников получаем равные накрест лежащие углы при секущей AE.