Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 25

Упражнение 196 к § 25

Задача 1

Условие (кратко)

BK — биссектриса треугольника ABC. Прямая через K пересекает сторону BC в точке M так, что BM = MK. Доказать, что прямые KM и AB параллельны.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$BK$$ — биссектриса ( $$K$$ на $$AC$$ ), $$M$$ на $$BC$$ , $$BM = MK$$ . Доказать: $KM \parallel AB$ .

$\triangle BMK$ равнобедренный ( $$BM = MK$$ ), поэтому углы при основании $$BK$$ равны: $\angle MKB = \angle MBK$ .
$$BK$$ — биссектриса, поэтому $\angle MBK = \angle CBK = \angle ABK$ .
Значит, $\angle MKB = \angle ABK$ .
Для прямых $$KM$$ и $$AB$$ прямая $$BK$$ — секущая. Точка $$M$$ лежит на стороне $$BC$$ , а $$A$$ и $$C$$ — по разные стороны от биссектрисы, поэтому $$M$$ и $$A$$ по разные стороны от $$BK$$ , и углы $$MKB$$ и $$ABK$$ накрест лежащие.
Они равны, значит, $KM \parallel AB$ .

Ответ

Утверждение доказано: ∠MKB = ∠ABK — накрест лежащие углы, KM ∥ AB

Почему так

Углы при основании равнобедренного треугольника BMK и биссектриса дают равные накрест лежащие углы.