Задача 1
Условие (кратко)
В треугольнике ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Через B проведена прямая BD так, что луч BC — биссектриса угла ABD. Доказать, что прямые AC и BD параллельны.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle A = 40^\circ\), \(\angle ABC = 70^\circ\), \(BC\) — биссектриса угла \(ABD\). Доказать: \(AC \parallel BD\).
- \(BC\) — биссектриса, поэтому \(\angle ABD = 2 \cdot 70^\circ = 140^\circ\).
- Луч \(BC\) лежит внутри угла \(ABD\), поэтому точки \(C\) и \(D\) лежат по одну сторону от прямой \(AB\).
- Для прямых \(AC\) и \(BD\) прямая \(AB\) — секущая, а углы \(CAB\) и \(ABD\) — односторонние.
- \(\angle CAB + \angle ABD = 40^\circ + 140^\circ = 180^\circ\). Сумма односторонних углов равна \(180^\circ\), значит, \(AC \parallel BD\).
Ответ
Утверждение доказано: ∠CAB + ∠ABD = 40° + 140° = 180° — односторонние углы, AC ∥ BD
Почему так
Удвоив угол B, получаем односторонние углы при секущей AB с суммой 180°.
Подробнее — в теме «Признаки параллельности двух прямых».