Задача 1
Условие (кратко)
Рис. 123: треугольник ABC, точки D и E на BC, P на AB, Q на AC, AD ∥ p, PQ ∥ BC. Доказать, что прямая p пересекает прямые AB, AE, AC, BC и PQ.
Решение
Дано: \(AD \parallel p\), \(PQ \parallel BC\) (точки \(D\), \(E\) на \(BC\), \(P\) на \(AB\), \(Q\) на \(AC\)). Доказать: \(p\) пересекает \(AB\), \(AE\), \(AC\), \(BC\) и \(PQ\).
- Прямые \(AB\), \(AE\) и \(AC\) проходят через точку \(A\) и отличны от прямой \(AD\), то есть пересекают её в точке \(A\). Так как \(AD \parallel p\), каждая из них пересекает и \(p\) (прямая, пересекающая одну из двух параллельных, пересекает и другую).
- Прямая \(BC\) пересекает \(AD\) в точке \(D\), поэтому по тому же следствию пересекает и \(p\).
- Прямые \(BC\) и \(PQ\) параллельны, а прямая \(p\) пересекает одну из них — \(BC\). Значит, \(p\) пересекает и \(PQ\).
Ответ
Утверждение доказано — p пересекает AB, AE, AC, BC и PQ
Почему так
Многократно применяется следствие — прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую.
Подробнее — в теме «Аксиома параллельных прямых».