Задача 1
Условие (кратко)
Тела P₁ и P₂ висят на нити, перекинутой через блоки A и B; тело P₃ подвешено в точке C (рис. 127), AP₁ ∥ BP₂ ∥ CP₃. Доказать, что ∠ACB = ∠CAP₁ + ∠CBP₂.
Решение
Дано: \(AP_1 \parallel BP_2 \parallel CP_3\), нити \(AP_1\), \(BP_2\), \(CP_3\) направлены вниз. Доказать: \(\angle ACB = \angle CAP_1 + \angle CBP_2\).
- Продолжим луч \(CP_3\) за точку \(C\) — получим луч \(CK\), направленный вверх. Он проходит внутри угла \(ACB\), поэтому \(\angle ACB = \angle ACK + \angle KCB\).
- Прямые \(AP_1\) и \(CK\) параллельны, \(AC\) — секущая. Лучи \(AP_1\) (вниз) и \(CK\) (вверх) лежат по разные стороны от \(AC\), поэтому углы \(CAP_1\) и \(ACK\) накрест лежащие и \(\angle ACK = \angle CAP_1\).
- Так же при параллельных прямых \(BP_2\), \(CK\) и секущей \(BC\): \(\angle KCB = \angle CBP_2\).
- Складывая, получаем \(\angle ACB = \angle CAP_1 + \angle CBP_2\).
Ответ
Утверждение доказано — ∠ACB = ∠CAP₁ + ∠CBP₂
Почему так
Продолжение луча CP₃ делит угол ACB на два угла, каждый равен накрест лежащему углу при параллельных нитях.
Подробнее — в теме «Углы при параллельных прямых и секущей».