Упражнение 216 к § 29

Дано: \(a \parallel b\), секущая пересекает \(a\) в точке \(M\), \(b\) — в точке \(N\); \(\angle 1\) (при \(M\)) и \(\angle 2\) (при \(N\)) — накрест лежащие; \(MK\) и \(NL\) — их биссектрисы. Доказать: \(MK \parallel NL\).

1. Так как \(a \parallel b\), накрест лежащие углы равны: \(\angle 1 = \angle 2\).
2. Биссектрисы делят их пополам: \(\angle KMN = \dfrac{1}{2}\angle 1\), \(\angle LNM = \dfrac{1}{2}\angle 2\), поэтому \(\angle KMN = \angle LNM\).
3. Углы \(1\) и \(2\) лежат по разные стороны от секущей \(MN\), значит, и биссектрисы тоже. Поэтому \(\angle KMN\) и \(\angle LNM\) — накрест лежащие углы при прямых \(MK\), \(NL\) и секущей \(MN\).
4. Накрест лежащие углы равны, по признаку параллельности \(MK \parallel NL\).

Дано: \(a \parallel b\), секущая пересекает \(a\) в точке \(M\), \(b\) — в точке \(N\); \(\angle 1\) (при \(M\)) и \(\angle 3\) (при \(N\)) — односторонние. Доказать: их биссектрисы перпендикулярны.

1. При параллельных прямых \(\angle 1 + \angle 3 = 180^\circ\), поэтому \(\dfrac{1}{2}\angle 1 + \dfrac{1}{2}\angle 3 = 90^\circ\).
2. Биссектрисы не параллельны: иначе их односторонние углы при секущей \(MN\) давали бы в сумме \(180^\circ\), а они дают \(90^\circ\). Пусть биссектрисы пересекаются в точке \(O\).
3. Проведём через \(O\) прямую, параллельную \(a\) (она параллельна и \(b\)), и отметим на ней точку \(P\) внутри угла \(MON\). Тогда \(\angle MOP = \dfrac{1}{2}\angle 1\) — накрест лежащие при параллельных прямых \(a\), \(OP\) и секущей \(MO\); так же \(\angle PON = \dfrac{1}{2}\angle 3\) — накрест лежащие при \(b\), \(OP\) и секущей \(NO\).
4. \(\angle MON = \angle MOP + \angle PON = \dfrac{1}{2}\angle 1 + \dfrac{1}{2}\angle 3 = 90^\circ\), то есть биссектрисы перпендикулярны.