Задача 1
Условие (кратко)
Прямые, содержащие высоты AA₁ и BB₁ треугольника ABC, пересекаются в точке H, угол B тупой, ∠C = 20°. Найти угол AHB.
Решение
Дано
- \(\triangle ABC\)
- \(\angle B\) тупой
- \(\angle C = 20^\circ\)
- \(AA_1 \perp BC\)
- \(BB_1 \perp AC\)
- прямые \(AA_1\) и \(BB_1\) пересекаются в точке \(H\)
Найти
- \(\angle AHB\)
- Так как угол \(B\) тупой, основание \(B_1\) лежит на стороне \(AC\), а точка \(H\) — на продолжении отрезка \(B_1B\) за точку \(B\). Поэтому \(\angle AHB = \angle AHB_1\).
- Стороны угла \(AHB\) соответственно перпендикулярны сторонам угла \(ACB\): \(HA \perp CB\) (прямая \(AA_1\) — высота), \(HB \perp CA\) (прямая \(BB_1\) — высота). По теореме такие углы равны или в сумме дают \(180^\circ\), то есть \(\angle AHB = 20^\circ\) или \(\angle AHB = 160^\circ\).
- Угол \(AHB_1\) острый. Проведём через \(A\) прямую \(l \parallel HB_1\) и отметим на ней точку \(X\) по ту же сторону от \(AH\), что и \(B_1\). Углы \(AHB_1\) и \(HAX\) односторонние при параллельных прямых, поэтому \(\angle AHB_1 + \angle HAX = 180^\circ\). Прямая \(l\) перпендикулярна \(AC\) (прямая, перпендикулярная одной из параллельных, перпендикулярна и другой), и луч \(AB_1\) лежит внутри угла \(HAX\), поэтому \(\angle HAX = \angle HAB_1 + 90^\circ > 90^\circ\), а \(\angle AHB_1 < 90^\circ\).
- Значит, \(\angle AHB = \angle C = 20^\circ\).
Ответ
∠AHB = 20°
Почему так
Стороны угла AHB перпендикулярны сторонам угла C, оба угла острые, поэтому они равны.
Подробнее — в теме «Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами».