Стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого. Что можно сказать об этих углах?

Они равны или в сумме составляют 180°

Они всегда в сумме составляют 90°

Они всегда в сумме составляют 180°

Стороны двух углов соответственно перпендикулярны, оба угла острые. Как они связаны?

Один вдвое больше другого

Углы с параллельными и перпендикулярными сторонами

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Углы при параллельных прямых и секущей

Коротко о главном

Если стороны одного угла соответственно параллельны (или соответственно перпендикулярны) сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо в сумме составляют $180^\circ$ . Оба острых или оба тупых — равны; острый и тупой — в сумме $180^\circ$ .

\angle AOB = \angle A_1O_1B_1 \quad \text{или} \quad \angle AOB + \angle A_1O_1B_1 = 180^\circ

Подробное объяснение

Сдвиньте раскрытые ножницы по столу, не поворачивая их: каждое лезвие останется параллельным своему прежнему положению, и угол между лезвиями не изменится. Так появляются углы с соответственно параллельными сторонами: $OA \parallel O_1A_1$ и $OB \parallel O_1B_1$ . «Соответственно» значит, что пары заданы заранее: первая сторона — с первой, вторая — со второй.

Углы с параллельными сторонами

Теорема. Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы равны или в сумме составляют $180^\circ$ .

Слева угол AOB в 50° и угол A₁O₁B₁ со сторонами, направленными так же, — тоже 50°. Справа у второго угла сторона O₁A₁ направлена в противоположную сторону, и он равен 130°. — Если стороны углов соответственно параллельны, углы равны или в сумме дают 180°.

Почему так. Прямая $$O_1B_1$$ пересекает прямую $$O_1A_1$$ , поэтому пересекает и параллельную ей прямую $$OA$$ — в некоторой точке $$M$$ . При параллельных прямых $$OB$$ и $$O_1B_1$$ угол при точке $$M$$ равен углу $$AOB$$ (накрест лежащие углы). А при параллельных прямых $$OA$$ и $$O_1A_1$$ и секущей $$O_1M$$ этот угол либо равен углу $$A_1O_1B_1$$ (соответственные), либо дополняет его до $180^\circ$ (односторонние). Отсюда и два случая.

Какой случай получится, видно по направлениям сторон:

обе пары сторон направлены одинаково (или обе — противоположно) — углы равны;
одна пара направлена одинаково, другая — противоположно — углы в сумме дают $180^\circ$ .

Углы с перпендикулярными сторонами

Теперь повернём ножницы на прямой угол. Каждое лезвие станет перпендикулярно своему прежнему положению, а угол между лезвиями снова не изменится. Так получаются углы с соответственно перпендикулярными сторонами: $OA \perp O_1A_1$ и $OB \perp O_1B_1$ .

Теорема. Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы равны или в сумме составляют $180^\circ$ .

Идея доказательства: «повернём» угол $$AOB$$ на $90^\circ$ — построим при вершине $$O$$ угол $$COD$$ , равный $$AOB$$ , у которого $OC \perp OA$ и $OD \perp OB$ . Стороны угла $$COD$$ параллельны сторонам угла $$A_1O_1B_1$$ (две прямые, перпендикулярные одной, параллельны), и дальше работает первая теорема.

Как выбрать случай

Для обеих теорем удобно одно правило:

оба угла острые или оба тупые — углы равны;
один острый, другой тупой — сумма $180^\circ$ ;
если один угол прямой, то и другой прямой.

Как решать задачи

Проверьте, что стороны углов параллельны или перпендикулярны попарно: первая с первой, вторая со второй.
Запишите оба варианта: углы равны или их сумма $180^\circ$ .
Отбросьте лишний вариант: по виду углов (острый или тупой), по направлению сторон или по данным задачи (если углы не равны, то сумма $180^\circ$ ; если сумма не $180^\circ$ , то углы равны).
Посчитайте ответ, при необходимости через уравнение.

Разобранные примеры

База

Тупой угол с параллельными сторонами

Условие

Стороны угла в $65^\circ$ соответственно параллельны сторонам тупого угла. Найдите тупой угол.

Решение

Острый угол не может быть равен тупому, поэтому углы в сумме дают $180^\circ$ . Тупой угол равен $180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$ .

Ответ: 115°

Средний

Перила на пандусе

Условие

Пандус наклонён к горизонтали под углом $12^\circ$ . Стойка перил поставлена перпендикулярно пандусу. Под каким острым углом стойка отклонена от вертикали?

Дано

угол между пандусом и горизонталью $12^\circ$
стойка перпендикулярна пандусу

Найти

острый угол между стойкой и вертикалью

Решение

Стойка перпендикулярна пандусу, вертикаль перпендикулярна горизонтали. Значит, у угла «стойка — вертикаль» стороны соответственно перпендикулярны сторонам угла «пандус — горизонталь». Такие углы равны или дают в сумме $180^\circ$ . Нужный угол острый, как и угол $12^\circ$ , поэтому они равны.

Ответ: 12°

Сложный

Сумма известна

Условие

Стороны углов $$AOB$$ и $$A_1O_1B_1$$ соответственно параллельны, а сумма этих углов равна $250^\circ$ . Найдите каждый угол.

Дано

$OA \parallel O_1A_1$
$OB \parallel O_1B_1$
$\angle AOB + \angle A_1O_1B_1 = 250^\circ$

Найти

углы

Решение

Углы равны или в сумме дают $180^\circ$ . Сумма равна $250^\circ$ , а не $180^\circ$ , значит, углы равны: каждый $250^\circ : 2 = 125^\circ$ .

Ответ: По 125°

Типичные ошибки

Всегда считают углы равными

Почему неверно

Теорема даёт два варианта. Если у одного угла сторону «развернуть» в противоположную сторону, угол $50^\circ$ превратится в $130^\circ$ , а параллельность сторон сохранится.

Как правильно

Всегда записывайте оба варианта и обоснованно отбрасывайте лишний — по виду углов или по условию.

Не проверяют, что стороны параллельны попарно

Почему неверно

Теорема требует, чтобы первая сторона одного угла была параллельна (перпендикулярна) первой стороне другого, а вторая — второй. Если, например, только одна пара сторон параллельна, углы могут быть какими угодно.

Как правильно

Выпишите обе пары: « $OA \parallel O_1A_1$ , $OB \parallel O_1B_1$ » — и только потом применяйте теорему.

Отбрасывают случай по рисунку

Почему неверно

Рисунок может быть неточным: угол, нарисованный «на глаз» острым, по условию может оказаться тупым.

Как правильно

Выбирайте случай по данным задачи: по тому, острые углы или тупые, равны ли они, чему равна их сумма или разность.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Стороны угла в $47^\circ$ соответственно параллельны сторонам другого угла, причём второй угол тупой. Найдите его.

Подсказка

Углы с параллельными сторонами либо равны, либо в сумме дают $180^\circ$ .

Решение

Тупой угол не может быть равен острому углу $47^\circ$ , поэтому углы в сумме дают $180^\circ$ . Второй угол равен $180^\circ - 47^\circ = 133^\circ$ .

Ответ

133°

База Задача 2

Стороны острого угла в $35^\circ$ соответственно перпендикулярны сторонам другого острого угла. Найдите второй угол.

Подсказка

Если оба угла острые, их сумма не может быть равна $180^\circ$ .

Решение

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны или в сумме дают $180^\circ$ . Два острых угла в сумме меньше $180^\circ$ , значит, углы равны — второй угол $35^\circ$ .

Ответ

35°

Средний Задача 3

Стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого, и один угол в 2 раза больше другого. Найдите эти углы.

Подсказка

Могут ли углы быть равными?

Решение

Углы не равны (один вдвое больше), значит, их сумма $180^\circ$ . Пусть меньший угол $$x$$ , тогда $x + 2x = 180^\circ$ , $x = 60^\circ$ . Углы $60^\circ$ и $120^\circ$ .

Ответ

60° и 120°

Средний Задача 4

Стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого, а разность углов равна $40^\circ$ . Найдите эти углы.

Подсказка

Углы не равны — какой тогда остаётся случай?

Решение

Разность не равна нулю, поэтому углы не равны, и их сумма $180^\circ$ . Пусть меньший угол $$x$$ , больший $x + 40^\circ$ . $2x + 40^\circ = 180^\circ$ , $x = 70^\circ$ . Углы $70^\circ$ и $110^\circ$ .

Ответ

70° и 110°

Сложный Задача 5

Стороны угла $\alpha$ соответственно параллельны сторонам угла $\beta$ , а стороны угла $\beta$ соответственно перпендикулярны сторонам угла $\gamma$ . Известно, что $\alpha = 70^\circ$ , углы $\beta$ и $\gamma$ тупые. Найдите $\beta$ и $\gamma$ .

Подсказка

Сравните сначала $\alpha$ и $\beta$ , потом $\beta$ и $\gamma$ .

Решение

Углы $\alpha$ и $\beta$ равны или дают в сумме $180^\circ$ . Угол $\beta$ тупой, а $\alpha$ острый, поэтому $\beta = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$ . Углы $\beta$ и $\gamma$ тоже равны или дают в сумме $180^\circ$ . Оба тупые, сумма двух тупых углов больше $180^\circ$ , значит, $\gamma = \beta = 110^\circ$ .

Ответ

β = 110°, γ = 110°

Сложный Задача 6

Стороны угла $$AOB$$ соответственно перпендикулярны сторонам угла $$A_1O_1B_1$$ , и угол $$AOB$$ прямой. Докажите, что угол $$A_1O_1B_1$$ тоже прямой.

Подсказка

Какие прямые перпендикулярны прямой $$OA$$ ?

Решение

По условию $OA \perp O_1A_1$ и $OA \perp OB$ . Две прямые, перпендикулярные одной прямой $$OA$$ , параллельны (или совпадают), поэтому прямые $$O_1A_1$$ и $$OB$$ параллельны или совпадают. Прямая $$O_1B_1$$ перпендикулярна $$OB$$ , значит, она перпендикулярна и $$O_1A_1$$ — прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Итак, $\angle A_1O_1B_1 = 90^\circ$ .

Ответ

Утверждение доказано — угол A₁O₁B₁ прямой

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите раскрытые ножницы или две скреплённые карандашами полоски картона. Сдвиньте их по столу, не поворачивая, — угол тот же, это случай равных углов. Теперь разверните одно лезвие в противоположную сторону — получится угол, который вместе с прежним даёт развёрнутый, $180^\circ$ . Для перпендикулярных сторон поверните фигуру на четверть оборота: угол снова сохранится.

Вопросы для проверки понимания: 1) Стороны углов соответственно параллельны, один угол $30^\circ$ , другой тупой. Чему он равен? 2) Могут ли углы с перпендикулярными сторонами быть $40^\circ$ и $50^\circ$ ? 3) Как понять, равны ли углы или дают в сумме $180^\circ$ ?

На что обратить внимание. Ребёнок должен помнить, что вариантов два, и уметь объяснить, почему выбран один из них. Хорошая привычка — сразу отмечать, острый угол или тупой.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 30	217