Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(AB = BC\); сторона \(AB\) продолжена за точку \(B\) до точки \(K\), \(BM\) — биссектриса внешнего угла \(CBK\). Доказать: \(BM \parallel AC\).
- Внешний угол \(CBK\) равен сумме углов \(A\) и \(C\), а они равны как углы при основании: \(\angle CBK = 2\angle A\).
- Биссектриса делит его пополам: \(\angle MBK = \angle A\).
- Углы \(MBK\) и \(BAC\) — соответственные при прямых \(BM\) и \(AC\) и секущей \(AK\). Они равны, поэтому \(BM \parallel AC\).
Ответ
Утверждение доказано — биссектриса внешнего угла параллельна основанию
Почему так
Внешний угол при вершине вдвое больше угла при основании, а равенство соответственных углов даёт параллельность.
Подробнее — в теме «Сумма углов треугольника».