Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 32

Упражнение 231 к § 32

Задача 1

Условие (кратко)

Доказать, что углы при основании равнобедренного треугольника острые.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$AB = BC$$ . Доказать: $\angle A$ и $\angle C$ — острые.

Углы при основании равны: $\angle A = \angle C$ .
Предположим, что $\angle A \ge 90^\circ$ . Тогда и $\angle C \ge 90^\circ$ , и $\angle A + \angle C \ge 180^\circ$ , а на угол $$B$$ ничего не остаётся — это противоречит теореме о сумме углов треугольника.
Значит, $\angle A < 90^\circ$ и $\angle C < 90^\circ$ — углы при основании острые.

Короче: в треугольнике прямой или тупой угол может быть только один, а углов при основании два, и они равны.

Ответ

Утверждение доказано — углы при основании острые

Почему так

Два равных угла не могут быть прямыми или тупыми — их сумма была бы не меньше 180°.

Условие (кратко)

Доказать, что внешние углы при основании равнобедренного треугольника тупые.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$AB = BC$$ . Доказать: внешние углы при вершинах $$A$$ и $$C$$ — тупые.

Внешний угол при вершине $$A$$ смежен с углом $$A$$ , поэтому он равен $180^\circ - \angle A$ .
По пункту а) $\angle A < 90^\circ$ , значит, $180^\circ - \angle A > 90^\circ$ — внешний угол тупой.
Так же для вершины $$C$$ .

Ответ

Утверждение доказано — внешние углы при основании тупые

Почему так

Угол, смежный с острым, тупой.