Задача 1
Условие (кратко)
Медиана AM треугольника ABC равна половине стороны BC. Доказать, что треугольник ABC прямоугольный.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(AM\) — медиана, \(AM = \dfrac{1}{2}BC\). Доказать: \(\triangle ABC\) прямоугольный.
- \(M\) — середина \(BC\), поэтому \(BM = MC = \dfrac{1}{2}BC = AM\).
- Треугольник \(ABM\) равнобедренный (\(AM = BM\)), значит, \(\angle B = \angle BAM\). Треугольник \(ACM\) равнобедренный (\(AM = CM\)), значит, \(\angle C = \angle CAM\).
- Сложим: \(\angle B + \angle C = \angle BAM + \angle CAM = \angle A\).
- По теореме о сумме углов \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\), то есть \(2\angle A = 180^\circ\) и \(\angle A = 90^\circ\).
Треугольник \(ABC\) прямоугольный с прямым углом \(A\).
Ответ
Утверждение доказано — угол A прямой, треугольник прямоугольный
Почему так
Медиана разбивает треугольник на два равнобедренных, и угол A оказывается равен сумме двух других углов.
Подробнее — в теме «Сумма углов треугольника».