Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что в равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий любую точку основания (не вершину) с противоположной вершиной, меньше боковой стороны.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(AB = BC\), точка \(D\) лежит на основании \(AC\), \(D \ne A\), \(D \ne C\). Доказать: \(BD < AB\).
- Угол \(ADB\) — внешний угол треугольника \(BDC\), поэтому \(\angle ADB > \angle C\).
- \(\angle C = \angle A\) как углы при основании равнобедренного треугольника, значит, \(\angle ADB > \angle A\).
- В треугольнике \(ABD\) против большего угла \(ADB\) лежит сторона \(AB\), против меньшего угла \(A\) — сторона \(BD\). Следовательно, \(BD < AB\), а \(AB\) — боковая сторона.
Ответ
Утверждение доказано — отрезок BD меньше боковой стороны
Почему так
Внешний угол больше угла треугольника, не смежного с ним, а против большего угла лежит большая сторона.
Подробнее — в теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника».