Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведённой из той же вершины.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(AM\) — медиана, \(AH\) — высота. Доказать: \(AM \ge AH\).
- Если точки \(M\) и \(H\) совпадают, то \(AM = AH\).
- Если не совпадают, рассмотрим треугольник \(AHM\). Он прямоугольный, \(\angle AHM = 90^\circ\), \(AM\) — гипотенуза, \(AH\) — катет.
- В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета (следствие 1 из теоремы о соотношениях между сторонами и углами), поэтому \(AM > AH\).
В обоих случаях \(AM \ge AH\).
Ответ
Утверждение доказано — медиана не меньше высоты (равна ей, только если они совпадают)
Почему так
Медиана — гипотенуза прямоугольного треугольника, в котором высота служит катетом.
Подробнее — в теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника».