Задача 1
Условие (кратко)
Прямая, параллельная основанию BC равнобедренного треугольника ABC, пересекает боковые стороны AB и AC в точках M и N. Доказать, что треугольник AMN равнобедренный.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(AB = AC\), \(M \in AB\), \(N \in AC\), \(MN \parallel BC\). Доказать: \(\triangle AMN\) равнобедренный.
- \(\angle AMN = \angle ABC\) как соответственные углы при параллельных \(MN\) и \(BC\) и секущей \(AB\).
- \(\angle ANM = \angle ACB\) как соответственные углы при тех же параллельных и секущей \(AC\).
- \(\angle ABC = \angle ACB\) как углы при основании, поэтому \(\angle AMN = \angle ANM\).
- По признаку равнобедренного треугольника \(AM = AN\).
Ответ
Утверждение доказано — AM = AN
Почему так
Соответственные углы при параллельных прямых равны, а два равных угла дают равнобедренный треугольник.
Подробнее — в теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника».