Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника, то треугольник равнобедренный.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), точка \(D\) на продолжении стороны \(AB\) за точку \(B\), \(BK\) — биссектриса внешнего угла \(CBD\), \(BK \parallel AC\). Доказать: \(\triangle ABC\) равнобедренный.
- \(\angle DBK = \angle BAC\) как соответственные углы при параллельных \(BK\) и \(AC\) и секущей \(AD\).
- \(\angle KBC = \angle BCA\) как накрест лежащие углы при тех же параллельных и секущей \(BC\).
- \(\angle DBK = \angle KBC\), так как \(BK\) — биссектриса. Значит, \(\angle BAC = \angle BCA\).
- По признаку равнобедренного треугольника \(AB = BC\).
(Биссектриса внешнего угла может быть параллельна только стороне, не выходящей из этой вершины, — здесь это \(AC\).)
Ответ
Утверждение доказано — AB = BC, треугольник равнобедренный
Почему так
Параллельность даёт равенство двух углов треугольника, а равные углы — равные противолежащие стороны.
Подробнее — в теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника».