Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 33

Упражнение 248 к § 33

Задача 1

Условие (кратко)

Через вершину C треугольника ABC проведена прямая, параллельная его биссектрисе AA₁ и пересекающая прямую AB в точке D. Доказать, что AC = AD.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$AA_1$$ — биссектриса, $CD \parallel AA_1$ , $$D$$ лежит на прямой $$AB$$ . Доказать: $$AC = AD$$ .

Точка $$D$$ лежит на продолжении стороны $$BA$$ за точку $$A$$ , так как точки $$B$$ и $$C$$ лежат по разные стороны от прямой $$AA_1$$ , а вся прямая $$CD$$ — по ту же сторону, что и $$C$$ .
$\angle ADC = \angle BAA_1$ как соответственные углы при параллельных $$CD$$ и $$AA_1$$ и секущей $$BD$$ .
$\angle ACD = \angle CAA_1$ как накрест лежащие углы при тех же параллельных и секущей $$AC$$ .
$\angle BAA_1 = \angle CAA_1$ , так как $$AA_1$$ — биссектриса. Значит, $\angle ADC = \angle ACD$ .
В треугольнике $$ACD$$ два угла равны, поэтому против них лежат равные стороны: $$AC = AD$$ .

Ответ

Утверждение доказано — AC = AD

Почему так

Углы при параллельных прямых переносят равенство половинок угла A на углы треугольника ACD.