Задача 1
Условие (кратко)
Через точку пересечения биссектрис BB₁ и CC₁ треугольника ABC проведена прямая, параллельная BC, пересекающая AB и AC в точках M и N. Доказать, что MN = BM + CN.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(O\) — точка пересечения биссектрис \(BB_1\) и \(CC_1\), \(O \in MN\), \(MN \parallel BC\), \(M \in AB\), \(N \in AC\). Доказать: \(MN = BM + CN\).
- \(\angle MOB = \angle OBC\) как накрест лежащие углы при параллельных \(MN\) и \(BC\) и секущей \(BO\).
- \(\angle OBC = \angle MBO\), так как \(BO\) — биссектриса угла \(B\). Значит, \(\angle MOB = \angle MBO\), и треугольник \(BMO\) равнобедренный: \(MO = BM\).
- Аналогично \(\angle NOC = \angle OCB = \angle NCO\), поэтому \(NO = CN\).
- Точка \(O\) лежит на отрезке \(MN\), поэтому \(MN = MO + ON = BM + CN\).
Ответ
Утверждение доказано — MN = BM + CN
Почему так
Треугольники BMO и CNO равнобедренные — по признаку равнобедренного треугольника через равные углы.
Подробнее — в теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника».