Задача 1
Условие (кратко)
На рисунке лучи BO и CO — биссектрисы углов B и C треугольника ABC, OE ∥ AB, OD ∥ AC, точки E и D лежат на BC (E ближе к B). Доказать, что периметр △EDO равен BC.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(BO\) и \(CO\) — биссектрисы углов \(B\) и \(C\), \(OE \parallel AB\), \(OD \parallel AC\), точки \(E\) и \(D\) лежат на \(BC\) в порядке \(B\), \(E\), \(D\), \(C\). Доказать: \(P_{EDO} = BC\).
- \(\angle EOB = \angle OBA\) как накрест лежащие углы при параллельных \(OE\) и \(AB\) и секущей \(BO\). Так как \(BO\) — биссектриса, \(\angle OBA = \angle OBE\). Значит, \(\angle EOB = \angle EBO\), и \(EO = EB\).
- Аналогично \(\angle DOC = \angle OCA = \angle OCD\), поэтому \(DO = DC\).
- \(P_{EDO} = EO + ED + DO = EB + ED + DC = BC\).
Ответ
Утверждение доказано — периметр треугольника EDO равен BC
Почему так
Треугольники BEO и CDO равнобедренные, поэтому стороны EO и DO можно заменить отрезками EB и DC.
Подробнее — в теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника».