Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 33

Упражнение 252 к § 33

§ 33. Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника · тема: Соотношения между сторонами и углами треугольника

Задача 1

Условие (кратко)

На рисунке AB = AC, AP = AQ (P на AB, Q на AC), O — точка пересечения BQ и CP. Доказать, что треугольник BOC равнобедренный.

Решение

Дано: $$AB = AC$$ , $P \in AB$ , $Q \in AC$ , $$AP = AQ$$ , $$O$$ — точка пересечения отрезков $$BQ$$ и $$CP$$ . Доказать: $\triangle BOC$ равнобедренный.

В треугольниках $$ABQ$$ и $$ACP$$ : $$AB = AC$$ , $$AQ = AP$$ , угол $$A$$ общий. Они равны по первому признаку, поэтому $\angle ABQ = \angle ACP$ .
$\angle ABC = \angle ACB$ как углы при основании равнобедренного треугольника $$ABC$$ .
$\angle OBC = \angle ABC - \angle ABQ = \angle ACB - \angle ACP = \angle OCB$ .
По признаку равнобедренного треугольника $$OB = OC$$ .

Ответ

Утверждение доказано — OB = OC, треугольник BOC равнобедренный

Почему так

Из равенства треугольников ABQ и ACP получаем равные углы при основании BC треугольника BOC.

Подробнее — в теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника».

Задача 2

Условие (кратко)

В условиях рисунка (AB = AC, AP = AQ, O — точка пересечения BQ и CP) доказать, что прямая OA проходит через середину основания BC и перпендикулярна к нему.

Решение

Дано: $$AB = AC$$ , $$AP = AQ$$ , $$O$$ — точка пересечения $$BQ$$ и $$CP$$ . Доказать: прямая $$OA$$ проходит через середину $$BC$$ и $OA \perp BC$ .

В пункте а) доказано, что $$OB = OC$$ .
В треугольниках $$AOB$$ и $$AOC$$ : $$AB = AC$$ , $$OB = OC$$ , сторона $$AO$$ общая. Они равны по третьему признаку, поэтому $\angle BAO = \angle CAO$ .
Значит, луч $$AO$$ — биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника $$ABC$$ . Биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
Следовательно, прямая $$OA$$ проходит через середину $$BC$$ и перпендикулярна к $$BC$$ .

Ответ

Утверждение доказано — прямая OA проходит через середину BC и перпендикулярна BC

Почему так

Прямая AO — биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника, а значит, и его медиана и высота.

Подробнее — в теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки