Задача 1
Условие (кратко)
Доказать неравенство о длине ломаной — длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего её концы.
Решение
Дано: ломаная \(A_1A_2 \ldots A_n\). Доказать: \(A_1A_2 + A_2A_3 + \ldots + A_{n-1}A_n \ge A_1A_n\).
- Для любых трёх точек \(A\), \(B\), \(C\) верно \(AC \le AB + BC\): если точки не на одной прямой, это неравенство треугольника; если на одной прямой, то \(AC = AB + BC\) при \(B\) между \(A\) и \(C\) и \(AC < AB + BC\) в остальных случаях.
- Применим это к точкам \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\): \(A_1A_3 \le A_1A_2 + A_2A_3\). Значит, если заменить два первых звена отрезком \(A_1A_3\), длина не увеличится.
- Затем к точкам \(A_1\), \(A_3\), \(A_4\): \(A_1A_4 \le A_1A_3 + A_3A_4 \le A_1A_2 + A_2A_3 + A_3A_4\).
- Продолжая так, после замены всех звеньев получим \(A_1A_n \le A_1A_2 + A_2A_3 + \ldots + A_{n-1}A_n\).
Ответ
Утверждение доказано — длина ломаной не меньше расстояния между её концами
Почему так
Неравенство треугольника применяют по шагам, каждый раз заменяя два звена одним отрезком.
Подробнее — в теме «Неравенство треугольника».